NagaN
11.03.2011, 12:14
Уважаемые форумчане! Ползая по просторам Интернета с целью уяснения одного "космического" вопроса, наткнулся на так называемый "эффект Джанибекова"
http://www.youtube.com/watch?v=dL6Pt1O_gSE
Сильно испугался за судьбу матери-планеты. Но, подключив голову, выяснил у Велигого Гугла следующее (пост умного человека с ником Feol):
http://www.novosti-kosmonavtiki.ru/phpBB2/viewtopic.php?t=7528&postdays=0&postorder=asc&highlight=%E3%E0%E9%EA%E0+%E4%E6%E0%ED%E8%E1%E5%EA%EE%E2%E0&start=15
: Пн Окт 29, 2007 10:46 Заголовок сообщения:
Старый писал(а):
Вращение тела устойчиво только если оно происходит вокруг оси с максимальным моментом инерции. Если тело принудительно закрутить вокруг оси с не максимальным моментом инерции то рано или поздно оно кувырнётся так что вращение окажется вокруг оси с максимальным моментом.
А если моменты вокруг всех осей примерно одинаковы то будут происходить такие фокусы как с этой гайкой.
И так и не совсем так.
1. Вращение абсолютно жесткого тела устойчиво относительно осей как наибольшего так и наименьшего главного момента инерции. Пример устойчивого вращения вокруг оси наименьшего момента инерции, используемый на практике - стабилизация летящей пули. Пулю можно считать абсолютно твердым телом для получения достаточно устойчивой стабилизации в течение времени её полёта.
2. Вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчиво для любого тела в течение неограниченного времени. В том числе и не абсолютно жесткого. По этому такая и только такая закрутка используется для полностью пассивной (при выключенной системе ориентации) стабилизации спутников со значительной нежёсткостью констркуции (развитые панели СБ, антенны, топливо в баках и т. п.).
3. Вращение вокруг оси со средним моментом инерции неустойчиво всегда. И вращение действительно будет стремиться перейти к уменьшению энергии вращения. При этом, различные точки тела начнут испытывать переменные ускорения. Если эти ускорения будут приводить к переменным деформациям (не абс. жесткое тело) с рассеянием энергии, то в итоге ось вращения совместиться с осью максимального момента инерции. Если же деформации не происходит и/или не происходит рассеяния энергии (идеальная упругость), то получается энергетически консервативная система. Образно говоря, тело будет кувыркаться, вечно пытаясь найти себе "комфортное" положение, но всякий раз будет его проскакивать и искать заново . Простейший пример - идеальный маятник. Нижнее положение - энергетически оптимальное. Но он никогда не остановится в нем. Таким образом, ось вращения абсолютно жесткого и/или идеально упругого тела никогда не совместится с осью макс. момента инерции, если изначально она не совпадала с ним. Тело будет вечно совершать сложные техмерные колебания, зависящие от параметров и нач. условий. Нужно ставить 'вязкий' демпфер или активно гасить колебания системой управления, если речь идет о КА.
4. При равенстве всех главных моментов инерции вектор угловой скорости вращения тела не будет меняться ни по величине ни по направлению. Грубо говоря, во круг какого направления закрутил, во круг того направления и будет вращаться.
Т. о., судя по описанию, "гайка Джанибекова" - классический пример вращения абсолютно жесткого тела, закрученного вокруг оси, не совпадающей с осью наименьшего или наибольшего момента инерции.
И далее его же пост на четвертой странице:
http://www.novosti-kosmonavtiki.ru/phpBB2/viewtopic.php?t=7528&postdays=0&postorder=asc&highlight=%E3%E0%E9%EA%E0+%E4%E6%E0%ED%E8%E1%E5%EA%EE%E2%E0&start=45
Вт Ноя 06, 2007 11:25
Свободное вращение абсолютно твердого тела описывается системой диференциальных уравнений, которую принято делить на 2 части.
1 часть - система уравнений динамики. Связывает внешние моменты, действующие на объект, с его угловыми ускорениями. Решение (интегрирование) этой системы уравнений даст нам закон изменения скорости вращения тела во времени в зависимости от внешних моментов.
2 часть - система уравнений кинематики. Связывает угловые скорости вращения объекта с производными описателя углового положения. Он может быть разный. Эйлеровы углы, матрица направляющих косинусов, кватернионы, например. Решение (интегрирование) этой системы уравнений даст нам закон изменения описателя положения тела во времени в зависимости от его угловых скоростей.
Совмещение уравнений динамики и кинематики в единую систему уравнений (именно единую систему, а не совокупность двух систем !) даст нам связь между внешними моментами, действующими на объект и производными описателя углового положения. Решение (интегрирование) этой полной системы уравнений даст нам закон изменения положения тела во времени в зависимости от внешнего момента. Что и требуется получить.
В общем виде системы дифференциальных уравнений и динамики и кинематики даже по отдельности не имеют решения в элементарных математических функциях. То есть, общее решение существует, но не может быть выражено на бумаге в элементарных математических функциях. Ну как интеграл от sin(x)/x. Уравнения динамики решаются в специальных эллиптических функциях. Кинематики - нет. Ситуация с общим решением полной системы уравнений еще на порядок хуже (хотя, куда уже хуже ? ). Эта одна из классических и сложнейших задач высшей математики. Над её решением работали лучшие математики мира. В итоге, на сегодняшний день получено 3 аналитических решения этой системы для трех специальных случаев. Это решения Эйлера, Лагранжа и Софьи Ковалевской. Каждое из них является крупнейшим математическим достижением и они очень сложны. Но это, еще раз подчеркну, лишь специальные, облегченные частные случаи. Полного общего решения системы уравнений кинематики+динамики не существует до сих пор. То есть, нет той самой "функции", о которой Вы спрашиваете и которая бы в аналитическом виде описывала положение абсолютно твёрдого тела в любой момент времени. А теперь подумайте, как в космических КБ считают с учетом упругостей, вязкостей, нежёсткостей и т. п... Я очень рад, что мне немного довелось участвовать .
В инженерной практике эта система диф. уравнений интегрируется сугубо численно на компьютерах при заданных начальных условиях. Это позволяет с достаточной для практики точностью проводить исследования и моделирования работы систем ориентации и стабилизации КА, гироскопических приборов и т. п.
Эти уравнения для абсолютно твёрдого тела имеются в любом серьёзном учебнике по теоретической механике для ВУЗов соотв. специальностей. Правда, есть большое многообразие форм записи. Приведу ниже ту, которая наиболее удобна для численного интегрирования на ЭВМ.
Диф. уравнения динамики:
dWx = (Mx + (Jy - Jz)*Wy*Wz)/Jx
dWy = (My + (Jz - Jx)*Wz*Wx)/Jy
dWz = (Mz + (Jx - Jy)*Wx*Wy)/Jz
Диф. уравнения кинематики (для матрицы направляющих косинусов):
| 0 -Wz Wy |
S = | Wz 0 Wx |
| -Wy Wx 0 |
(выравнивание съезжает в форуме, удаляются лидирующие пробелы )
dA = A*S
Wx = Integral(dWx, dt)
Wy = Integral(dWy, dt)
Wz = Integral(dWz, dt)
A = Integral(dA, dt)
где:
Wx, Wy, Wz - угловые скорости объекта в проекции на оси связанной с ним системы координат (ССК)
dWx, dWy, dWz - производные угловых скоростей объекта (угловые ускорения) в проекции на оси ССК
Mx, My, Mz - внешние моменты, действующие на объект в проекции на оси ССК
Jx, Jy, Jz - главные моменты инерции объекта относительно осей ССК. (Полагаем, что ССК выбрана таким образом, что её оси X, Y, Z совпадают с главными осями инерции объекта и тензор инерции вырожденный, имеет диагональный вид)
S - косо-симметричная матрица скоростей
A - матрица напр. косинусов (МНК) перехода от связанной системы координат к базовой. Т. е., такая, что справедливо соотношение:
Iб = A*Iс, где Ic - любой вектор в ССК, Iб - он же, пересчитанный в базовую СК стандартным умножением на матрицу слева.
dA - производная по времени от матрицы A.
Интеграл можно вычислять как угодно, даже простейшим суммированием. И вы сможете получить вполне приемлемый для иллюстрации любых эффектов результат. Только надо задать достаточно малый шаг интегрирования. Т. е., вместо знака интеграла пишем:
Wx(i + 1) = Wx(i) + dWx*dt
Wy(i + 1) = Wy(i) + dWy*dt
Wz(i + 1) = Wz(i) + dWz*dt
A(i + 1) = A(i) + dA*dt
Начальные условия - значения Wx, Wy, Wz, A. Параметры - моменты инерции Jx, Jy, Jz и внешние моменты Mx, My, Mz. Можно и менять их во времени, если нужно.
То есть, сложнейшая математическая проблема поиска общего решения при переходе к численному интегрированию на ЭВМ при заданных параметрах и нач. условиях превращается в несложную лабораторную работу, которую обязательно выполняют все без исключения студенты специальностей, связанных с системами ориентации космических аппаратов.
А теперь главный вопрос - кто-нибудь вот так сходу видит по этим уравнениям эффект "гайки Джанибекова" ?
Однако, в силу моего сугубо гуманитарного образования, понял из всего этого только одно-эффект давно известен, описан и учтен.
Внимание, вопрос: возможен ли такой эффект для такого неоднородного тела, как Земля.
В Интернете на этом вопросе в основном паразитируют "академики" из РАЕН, так что, вся надежда на вас! ;)
http://www.youtube.com/watch?v=dL6Pt1O_gSE
Сильно испугался за судьбу матери-планеты. Но, подключив голову, выяснил у Велигого Гугла следующее (пост умного человека с ником Feol):
http://www.novosti-kosmonavtiki.ru/phpBB2/viewtopic.php?t=7528&postdays=0&postorder=asc&highlight=%E3%E0%E9%EA%E0+%E4%E6%E0%ED%E8%E1%E5%EA%EE%E2%E0&start=15
: Пн Окт 29, 2007 10:46 Заголовок сообщения:
Старый писал(а):
Вращение тела устойчиво только если оно происходит вокруг оси с максимальным моментом инерции. Если тело принудительно закрутить вокруг оси с не максимальным моментом инерции то рано или поздно оно кувырнётся так что вращение окажется вокруг оси с максимальным моментом.
А если моменты вокруг всех осей примерно одинаковы то будут происходить такие фокусы как с этой гайкой.
И так и не совсем так.
1. Вращение абсолютно жесткого тела устойчиво относительно осей как наибольшего так и наименьшего главного момента инерции. Пример устойчивого вращения вокруг оси наименьшего момента инерции, используемый на практике - стабилизация летящей пули. Пулю можно считать абсолютно твердым телом для получения достаточно устойчивой стабилизации в течение времени её полёта.
2. Вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчиво для любого тела в течение неограниченного времени. В том числе и не абсолютно жесткого. По этому такая и только такая закрутка используется для полностью пассивной (при выключенной системе ориентации) стабилизации спутников со значительной нежёсткостью констркуции (развитые панели СБ, антенны, топливо в баках и т. п.).
3. Вращение вокруг оси со средним моментом инерции неустойчиво всегда. И вращение действительно будет стремиться перейти к уменьшению энергии вращения. При этом, различные точки тела начнут испытывать переменные ускорения. Если эти ускорения будут приводить к переменным деформациям (не абс. жесткое тело) с рассеянием энергии, то в итоге ось вращения совместиться с осью максимального момента инерции. Если же деформации не происходит и/или не происходит рассеяния энергии (идеальная упругость), то получается энергетически консервативная система. Образно говоря, тело будет кувыркаться, вечно пытаясь найти себе "комфортное" положение, но всякий раз будет его проскакивать и искать заново . Простейший пример - идеальный маятник. Нижнее положение - энергетически оптимальное. Но он никогда не остановится в нем. Таким образом, ось вращения абсолютно жесткого и/или идеально упругого тела никогда не совместится с осью макс. момента инерции, если изначально она не совпадала с ним. Тело будет вечно совершать сложные техмерные колебания, зависящие от параметров и нач. условий. Нужно ставить 'вязкий' демпфер или активно гасить колебания системой управления, если речь идет о КА.
4. При равенстве всех главных моментов инерции вектор угловой скорости вращения тела не будет меняться ни по величине ни по направлению. Грубо говоря, во круг какого направления закрутил, во круг того направления и будет вращаться.
Т. о., судя по описанию, "гайка Джанибекова" - классический пример вращения абсолютно жесткого тела, закрученного вокруг оси, не совпадающей с осью наименьшего или наибольшего момента инерции.
И далее его же пост на четвертой странице:
http://www.novosti-kosmonavtiki.ru/phpBB2/viewtopic.php?t=7528&postdays=0&postorder=asc&highlight=%E3%E0%E9%EA%E0+%E4%E6%E0%ED%E8%E1%E5%EA%EE%E2%E0&start=45
Вт Ноя 06, 2007 11:25
Свободное вращение абсолютно твердого тела описывается системой диференциальных уравнений, которую принято делить на 2 части.
1 часть - система уравнений динамики. Связывает внешние моменты, действующие на объект, с его угловыми ускорениями. Решение (интегрирование) этой системы уравнений даст нам закон изменения скорости вращения тела во времени в зависимости от внешних моментов.
2 часть - система уравнений кинематики. Связывает угловые скорости вращения объекта с производными описателя углового положения. Он может быть разный. Эйлеровы углы, матрица направляющих косинусов, кватернионы, например. Решение (интегрирование) этой системы уравнений даст нам закон изменения описателя положения тела во времени в зависимости от его угловых скоростей.
Совмещение уравнений динамики и кинематики в единую систему уравнений (именно единую систему, а не совокупность двух систем !) даст нам связь между внешними моментами, действующими на объект и производными описателя углового положения. Решение (интегрирование) этой полной системы уравнений даст нам закон изменения положения тела во времени в зависимости от внешнего момента. Что и требуется получить.
В общем виде системы дифференциальных уравнений и динамики и кинематики даже по отдельности не имеют решения в элементарных математических функциях. То есть, общее решение существует, но не может быть выражено на бумаге в элементарных математических функциях. Ну как интеграл от sin(x)/x. Уравнения динамики решаются в специальных эллиптических функциях. Кинематики - нет. Ситуация с общим решением полной системы уравнений еще на порядок хуже (хотя, куда уже хуже ? ). Эта одна из классических и сложнейших задач высшей математики. Над её решением работали лучшие математики мира. В итоге, на сегодняшний день получено 3 аналитических решения этой системы для трех специальных случаев. Это решения Эйлера, Лагранжа и Софьи Ковалевской. Каждое из них является крупнейшим математическим достижением и они очень сложны. Но это, еще раз подчеркну, лишь специальные, облегченные частные случаи. Полного общего решения системы уравнений кинематики+динамики не существует до сих пор. То есть, нет той самой "функции", о которой Вы спрашиваете и которая бы в аналитическом виде описывала положение абсолютно твёрдого тела в любой момент времени. А теперь подумайте, как в космических КБ считают с учетом упругостей, вязкостей, нежёсткостей и т. п... Я очень рад, что мне немного довелось участвовать .
В инженерной практике эта система диф. уравнений интегрируется сугубо численно на компьютерах при заданных начальных условиях. Это позволяет с достаточной для практики точностью проводить исследования и моделирования работы систем ориентации и стабилизации КА, гироскопических приборов и т. п.
Эти уравнения для абсолютно твёрдого тела имеются в любом серьёзном учебнике по теоретической механике для ВУЗов соотв. специальностей. Правда, есть большое многообразие форм записи. Приведу ниже ту, которая наиболее удобна для численного интегрирования на ЭВМ.
Диф. уравнения динамики:
dWx = (Mx + (Jy - Jz)*Wy*Wz)/Jx
dWy = (My + (Jz - Jx)*Wz*Wx)/Jy
dWz = (Mz + (Jx - Jy)*Wx*Wy)/Jz
Диф. уравнения кинематики (для матрицы направляющих косинусов):
| 0 -Wz Wy |
S = | Wz 0 Wx |
| -Wy Wx 0 |
(выравнивание съезжает в форуме, удаляются лидирующие пробелы )
dA = A*S
Wx = Integral(dWx, dt)
Wy = Integral(dWy, dt)
Wz = Integral(dWz, dt)
A = Integral(dA, dt)
где:
Wx, Wy, Wz - угловые скорости объекта в проекции на оси связанной с ним системы координат (ССК)
dWx, dWy, dWz - производные угловых скоростей объекта (угловые ускорения) в проекции на оси ССК
Mx, My, Mz - внешние моменты, действующие на объект в проекции на оси ССК
Jx, Jy, Jz - главные моменты инерции объекта относительно осей ССК. (Полагаем, что ССК выбрана таким образом, что её оси X, Y, Z совпадают с главными осями инерции объекта и тензор инерции вырожденный, имеет диагональный вид)
S - косо-симметричная матрица скоростей
A - матрица напр. косинусов (МНК) перехода от связанной системы координат к базовой. Т. е., такая, что справедливо соотношение:
Iб = A*Iс, где Ic - любой вектор в ССК, Iб - он же, пересчитанный в базовую СК стандартным умножением на матрицу слева.
dA - производная по времени от матрицы A.
Интеграл можно вычислять как угодно, даже простейшим суммированием. И вы сможете получить вполне приемлемый для иллюстрации любых эффектов результат. Только надо задать достаточно малый шаг интегрирования. Т. е., вместо знака интеграла пишем:
Wx(i + 1) = Wx(i) + dWx*dt
Wy(i + 1) = Wy(i) + dWy*dt
Wz(i + 1) = Wz(i) + dWz*dt
A(i + 1) = A(i) + dA*dt
Начальные условия - значения Wx, Wy, Wz, A. Параметры - моменты инерции Jx, Jy, Jz и внешние моменты Mx, My, Mz. Можно и менять их во времени, если нужно.
То есть, сложнейшая математическая проблема поиска общего решения при переходе к численному интегрированию на ЭВМ при заданных параметрах и нач. условиях превращается в несложную лабораторную работу, которую обязательно выполняют все без исключения студенты специальностей, связанных с системами ориентации космических аппаратов.
А теперь главный вопрос - кто-нибудь вот так сходу видит по этим уравнениям эффект "гайки Джанибекова" ?
Однако, в силу моего сугубо гуманитарного образования, понял из всего этого только одно-эффект давно известен, описан и учтен.
Внимание, вопрос: возможен ли такой эффект для такого неоднородного тела, как Земля.
В Интернете на этом вопросе в основном паразитируют "академики" из РАЕН, так что, вся надежда на вас! ;)