Вт Ноя 06, 2007 11:25
Свободное вращение абсолютно твердого тела описывается системой диференциальных уравнений, которую принято делить на 2 части.
1 часть - система уравнений динамики. Связывает внешние моменты, действующие на объект, с его угловыми ускорениями. Решение (интегрирование) этой системы уравнений даст нам закон изменения скорости вращения тела во времени в зависимости от внешних моментов.
2 часть - система уравнений кинематики. Связывает угловые скорости вращения объекта с производными описателя углового положения. Он может быть разный. Эйлеровы углы, матрица направляющих косинусов, кватернионы, например. Решение (интегрирование) этой системы уравнений даст нам закон изменения описателя положения тела во времени в зависимости от его угловых скоростей.
Совмещение уравнений динамики и кинематики в единую систему уравнений (именно единую систему, а не совокупность двух систем !) даст нам связь между внешними моментами, действующими на объект и производными описателя углового положения. Решение (интегрирование) этой полной системы уравнений даст нам закон изменения положения тела во времени в зависимости от внешнего момента. Что и требуется получить.
В общем виде системы дифференциальных уравнений и динамики и кинематики даже по отдельности не имеют решения в элементарных математических функциях. То есть, общее решение существует, но не может быть выражено на бумаге в элементарных математических функциях. Ну как интеграл от sin(x)/x. Уравнения динамики решаются в специальных эллиптических функциях. Кинематики - нет. Ситуация с общим решением полной системы уравнений еще на порядок хуже (хотя, куда уже хуже ? ). Эта одна из классических и сложнейших задач высшей математики. Над её решением работали лучшие математики мира. В итоге, на сегодняшний день получено 3 аналитических решения этой системы для трех специальных случаев. Это решения Эйлера, Лагранжа и Софьи Ковалевской. Каждое из них является крупнейшим математическим достижением и они очень сложны. Но это, еще раз подчеркну, лишь специальные, облегченные частные случаи. Полного общего решения системы уравнений кинематики+динамики не существует до сих пор. То есть, нет той самой "функции", о которой Вы спрашиваете и которая бы в аналитическом виде описывала положение абсолютно твёрдого тела в любой момент времени. А теперь подумайте, как в космических КБ считают с учетом упругостей, вязкостей, нежёсткостей и т. п... Я очень рад, что мне немного довелось участвовать .
В инженерной практике эта система диф. уравнений интегрируется сугубо численно на компьютерах при заданных начальных условиях. Это позволяет с достаточной для практики точностью проводить исследования и моделирования работы систем ориентации и стабилизации КА, гироскопических приборов и т. п.
Эти уравнения для абсолютно твёрдого тела имеются в любом серьёзном учебнике по теоретической механике для ВУЗов соотв. специальностей. Правда, есть большое многообразие форм записи. Приведу ниже ту, которая наиболее удобна для численного интегрирования на ЭВМ.
Диф. уравнения динамики:
dWx = (Mx + (Jy - Jz)*Wy*Wz)/Jx
dWy = (My + (Jz - Jx)*Wz*Wx)/Jy
dWz = (Mz + (Jx - Jy)*Wx*Wy)/Jz
Диф. уравнения кинематики (для матрицы направляющих косинусов):
| 0 -Wz Wy |
S = | Wz 0 Wx |
| -Wy Wx 0 |
(выравнивание съезжает в форуме, удаляются лидирующие пробелы )
dA = A*S
Wx = Integral(dWx, dt)
Wy = Integral(dWy, dt)
Wz = Integral(dWz, dt)
A = Integral(dA, dt)
где:
Wx, Wy, Wz - угловые скорости объекта в проекции на оси связанной с ним системы координат (ССК)
dWx, dWy, dWz - производные угловых скоростей объекта (угловые ускорения) в проекции на оси ССК
Mx, My, Mz - внешние моменты, действующие на объект в проекции на оси ССК
Jx, Jy, Jz - главные моменты инерции объекта относительно осей ССК. (Полагаем, что ССК выбрана таким образом, что её оси X, Y, Z совпадают с главными осями инерции объекта и тензор инерции вырожденный, имеет диагональный вид)
S - косо-симметричная матрица скоростей
A - матрица напр. косинусов (МНК) перехода от связанной системы координат к базовой. Т. е., такая, что справедливо соотношение:
Iб = A*Iс, где Ic - любой вектор в ССК, Iб - он же, пересчитанный в базовую СК стандартным умножением на матрицу слева.
dA - производная по времени от матрицы A.
Интеграл можно вычислять как угодно, даже простейшим суммированием. И вы сможете получить вполне приемлемый для иллюстрации любых эффектов результат. Только надо задать достаточно малый шаг интегрирования. Т. е., вместо знака интеграла пишем:
Wx(i + 1) = Wx(i) + dWx*dt
Wy(i + 1) = Wy(i) + dWy*dt
Wz(i + 1) = Wz(i) + dWz*dt
A(i + 1) = A(i) + dA*dt
Начальные условия - значения Wx, Wy, Wz, A. Параметры - моменты инерции Jx, Jy, Jz и внешние моменты Mx, My, Mz. Можно и менять их во времени, если нужно.
То есть, сложнейшая математическая проблема поиска общего решения при переходе к численному интегрированию на ЭВМ при заданных параметрах и нач. условиях превращается в несложную лабораторную работу, которую обязательно выполняют все без исключения студенты специальностей, связанных с системами ориентации космических аппаратов.
А теперь главный вопрос - кто-нибудь вот так сходу видит по этим уравнениям эффект "гайки Джанибекова" ?
