В этом джойстике стоит четыре соврешенно одинаковые детали, которые закреплены на четырех осях. Выглядят как маленькие темные прямоугольники, из которых торчат из одной грани два провода, а из другой, перпендикулярной, торчит поворачивающийся шпенек. Вот эти-то детали надо аккуратно рассоединять и протирать все трущиеся внутри поверхности.
По желанию и возможности - либо просто протирать, либо смазывать графической или силиконовой смазкой.
P.S. Не сумеешь опознать эти детали со 100% вероятностью - лучше не берись за это дело. Поищи знакомого, который чинит электронику - он разберется и быстро и безопасно для твоего джойстика.