Ну, поскольку 2/3 от индукционного удлинителя всё равно придётся делать - наружную антенну и кабель, то и поэкспериментировать с рамкой тоже можно.
А приёмная часть - стандартный брелок? Если к нему присовокупить стационарную антенну, то вполне может и сработать...

А вообще, ПМСМ лучше сделать отдельную сигнализацию на гараж, хотя бы из старого мобильника.
Тут плохо только, что домашние всегда будут знать, что папка в гараже...