Адаптивные САУ и ИИС ЛА

[MikeA]

Теперь я постараюсь подробнее пояснить применяемый в работе подход. Может глупо столько математики в форуме писать, ну да ладно.
Зато будет понятно, ибо критика мне нужна. В конференциях я участвую, но критики недостаточно бывает.
Для стохастической системы разаработана структура и метод построения информационно-измерительной системы,
которая основана на принципе инвариантности и тяготеет к обобщенному настраиваемогу объекту измерения (ОНОИ).
Принимается гипотеза о линейной матмодели движения ЛА, что вполне нормально для горизонтального пряимолинейного полета.
Система ДУ приводится к система разностных уравнений в матричной форме в форме Коши:
X(k)=A*X(k-1)+B*u(k-1)+D*ksi(k-1) (1)
Y(k)=C*X(k)+v(k), (2)
где ksi и v - соответсвенно внешнее воздействие (турбулентность, например) и шумы измерителей,
которые считаем нормальными белыми шумами с нулевым средним и соответсвующими матрицами ковариации.
Получим матожидание для (1):
Xs(k)=A*Xs(k-1)+B*u(k-1) (3)
Предполагается, что на объект (ЛА) действует параметрическое возмущение - изменяются элементы матриц A и B в (1).
При этом предполагается, что скорость изменения элементов этих матриц мала и даже можем предположить, что на рассматриваемом
промежутке времени элементы матриц A и B постоянны, но неизвестны. Это положение справделиво для многих типов ЛА, в части маломаневренных
Второй вариант - просто оцениваются неизвестные элементы матриц A и B.
Предположим, что
A=A0+deltaA, B=B0+deltaB, (4)
где deltaA и deltaB - параметрические возмущения (неизвестные),
A0 и B0 - матрицы системы, соответсвуюшие некой номинальной модели движения в отсутсвие возимущений.
Отмечу, что A0 и B0 нам изначально известны (или выбираются)
Уравнение для этой номинальной модели:
Z(k)=A0*Z(k-1)+B0*u(k-1) (5)
Введем в рассмотрение некую переменную T, такую, что
T(k)=X(k)-Z(k), (6)
или что тоже самое
X(k)-T(k)=Z(k) (7)
То есть, как видно, чисто виртуально (в БЦВМ) вектор T осуществляет координатно-параметрическую компенсацию
параметрически возмущенного объекта (1) и приводит его к модели (5).
Несложно показать, что
T(k)=(A0+deltaA)*T(k-1)+deltaA*Z(k-1)+deltaB*u(k-1) (8)
Это уравнение характеризует ту добавку, которая получается вследствие параметрических возмущений.
Его мы и вычитаем из (1) - смотрите (7)
Поскольку deltaA и deltaB нам неизвестны, то требуется производить их идентификацию.
Цель идентификации - определние таких deltaM и deltaN, что:
deltaA=deltaM (9)
deltaB=deltaN. (10)
Значит настраиваемый канал координатно-параметрического рассогласования будет иметь вид:
Ta(k)=(A0+deltaM)*Ta(k-1)+deltaM*Z(k-1)+deltaN*u(k-1) (11)
Таким образом, на каждом шаге (итерации) с помощью алгоритма идентификации находим оценки матриц deltaA и deltaB
и подставляем их в (11).
Несложно показать, что в результате такой компенсации (S(k)=X(k)-Ta(k)) мы получаем в идеале объект:
S(k)=A0*S(k-1)+B0*u(k-1)+W, (12)
где W - новый случайный процесс, представляющий собой взвешенную сумму двух нормальных б.ш.,
где одна из весовых матриц - deltaA. То есть на выходе такого "компенсированного" объекта тоже нормальный случайный процесс
с неизвестной ковариационной матрицей и нулевым матожиданием.
И еще можно показать, что
Y0(k)=C*S(k)+v(k), (13)
где
Y0(k)=Y(k)-C*Ta (14)
Таким образом, (13)-(14) - новый "компенсированный" объект
Поскольку ковариационная матрица "нового" шумового воздействия неизвестна и неизвестна
ков. матр. шумов измерителей v, то надо применять адаптивнй фильтр для оценки вектора состояния.
Поскольку шумы "просачиваются" в систему.
Определим критерий, по которому будем производить настройку матриц канала (11)
Пусть ошибка имеет вид:
e(k)=Y(k)-(C*Ta(k)+Z(k)) (15)
Функция потерь:
Q=0.5*e(k)*E*e(k)' (16)
(E - единичная матрица)
Пусть вектор неизвестных параметров:
p=[daltaa11, daltaa12...,deltann]', элементы этого вектора - элементы матриц deltaA и deltaB.
(Тут поскольку мы рассматриваем расширенный об'ект (модель), который содержит кроме уравнений динамики
уранение/я рулевого тракта, то deltaB=0, поскольку вектор B содержит только априори известные параметры рулевого тракта)
Тогда метод Ньютона:
L(k)=L(k-1)+(dTa(k)/dp)'*C'*E*C*(dTa(k)/dp) (17)
p(k)=p(k-1)+(L(k))^(-1)*(dTa/dp)'*E*e(k) (18)
(И вот он для моделей второго прорядка (матрица A 2x2) - сходится хорошо (но в моденли только
уравнения движения) .
А для моделей большего порядка, когда добаляем, например, рулевой тракт (модель - апериод. звено
1-го порядка), сходимость плохая. И вроде обусловленность матрицы L не очень влияет на результат)
Окончательно оценка реального вектора состояния равна:
Xest=Ta+Sest,
где Sest - оценка (13)-(14), которую дает адаптивный фильтр
Один из адаптивных фильтров, применяемых в работе - разработанный мной вариант адаптивного фильтра Калмана,
в котором на основе невязки мы идентифицируем неизвестные матрицы ковариаций, подставляем их в алгоритм фильтра Калмана.
Правда я пока этот метод фильтрации не моделировал

[MikeA]

Конечно, принято много допущений. Пока что я упрощаю модели внешних турбулентных возмущений, чиста применяю нормальный б.ш., хотя на самом деле модель турбулентного ветра сложнее - минимум формирующий фильтр (апериод. звено 1-го порядка) для бш с нулевым матож. и единичной дисперсии, или даже модель Драйдена.
Но это усложнит систему - добавит порядок при зашивании ее в расширенный об'ект
Линейная аппроксимация - тоже допущение

Вот вопрос еще нерешен до конца - построение адаптивной системы управления на базе описанной выше системы

А вообще, поиск коллег в сети - дело полезное :p