Варьянтов, ИМХО, два:
1 - развесить объявы в районе. (Типа: такого-то была найдена кошка (рост, окрас, цвет глаз, особые приметы ), контактный телефон, имя (Ф и О - не обязательно))
2 - оставить себе . Сводить к ветеринару, на всяк случай, и дальше жить к совместному удовольствию.

С уважением,
Mirage.