Церкви "лизать сапог" совершенно не нужно было , в Орде (несмотря на уже принятый тогда ислам) царила просто недопустимая по тем временам в Европе религиозная свобода. Это было общей политикой ордынцев . Потому и "иго" так долго продержалось , вероятно от того , что оно современникам виделось гораздо меньшим злом по сравнению с католическим навалом с запада. Так как быть русским тогда и значило быть православным. Принял другую веру , и ты уже поляк или "немец". Вот победи Тамерлан 15-ю годами позже , пойди он дальше, могло все повернуться иначе. Но тут уже можно Тохтамыша поблагодарить - сопротивлялся как мог. Или Владимирскую икону , кто как думает

.
А конфликт Дмитрия с Мамаем мне больше представляется этакой гражданской войной в улусе Джучи. Вряд ли тогда помышляли о полной независимости.
Скорее об использовании одной фракции в своих интересах против другой. В основном , против "своих" . Москвы против Рязани и.т.д. То есть собрать земли проще , находясь под общим руководством царя в Сарае , чем воюя с каждым из князей по отдельности. А еще литовская интрига со своими видами на престол Орды.. Все очень запутанно.