Так как самолет и колесо неразрывны, то все сводим к колесу. Если колесо будет ускорятся, то будет ускоряться и самолет, который в конце концов взлетит, если колесо ускоряться не будет, то и самолет будет стоять и полететь не сможет.
На колесо действуют две силы - тяга самолета, которая действует по центру масс колеса, и сила трения о поверхность ВПП, которая идет по касательной к колесу (реакция опоры не влияет, так как действует перпендикулярно). Считаем, что проскальзывания нет (иначе неинтересно - самолет без вопросов взлетит).
Задача сводится к такой: найти зависимость скорости полосы от времени такую, чтобы колесо осталось на месте (точнее - центр масс колеса).
Движение колеса описывается двумя уравнениями: уравнением сил
Fвнешние = m dv/dt;
и уравнением моментов относительно центра масс колеса:
Mвнешние = dL/dt,
где L - момент вращения колеса.
Из первого уравнения получаем:
R - Fтр = ma,
где R - тяга, а Fтр - сила трения колеса о ВПП.
Так как колесо должно оставаться на месте, a=0 и, следовательно, R = Fтр.
Уравнение моментов дает:
Fтр*r = I*dw/dt,
где r - радиус колеса, w (омега) - угловая скорость вращения колеса, а I - момент инерции колеса.
Будем считать для простоты, что вся масса колеса сосредоточена в ободе (другие случаи будут отличаться лишь постоянным коэфициентом больше 0 и меньше 1). Тогда I = mrr (rr - r в квадрате).
w = v/r,
где v - скорость внешней стороны колеса, которая совпадает со скоростью ВПП, так как нет проскальзывания.
Тогда
Fтр r = mrr * dv/dt /r = ma*r.
Отсюда и из уравнения сил получаем
a = R/m.
То есть, если полоса должна двигаться с таким же ускорением, которое получилось бы, если всю тягу двигателей приложить к одному колесу.
Ответить с цитированием